Cours - Nombres et calculs : 2eme Secondaire

Séquence complète sur “Exprimer en fonction de” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Équations et inéquations” Cours sur “Exprimer en fonction de” pour la 2eme Secondaire Définition : Ecrire un résultat en fonction de x c’est écrire une expression littérale contenant la lettre x. Exemple 1 : Sur un site internet, les tee-shirts sont vendus au prix de 12 € le tee-shirt et les frais de livraison s’élèvent à 8,5 €. Calculer, en fonction de x, le prix à payer si on achète…

Séquence complète sur “Écriture scientifique d’un nombre” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Les puissances” Cours sur “Écriture scientifique d’un nombre” pour la 2eme Secondaire Les calculatrices, lorsque le résultat d’un calcul dépasse leur capacité d’affichage donnent une valeur approchée du résultat en notation scientifique. Définition : Un nombre positif est écrit en notation scientifique quand il est écrit sous la forme : a×〖10〗^n où : a est un nombre décimal tel que 1≤a<10 c’est-à-dire que a s’écrit avec un seul chiffre autre que 0…

Cours sur “Division euclidienne” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Multiples et diviseurs” Définition : Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier a (le dividende) par un nombre entier b (le diviseur) différent de 0, c’est trouver deux nombres entiers q (le quotient) et r (le reste) tels que : a=q ×b+r avec r <b Il faut toujours avoir en tête que la division euclidienne ne met en jeu que des nombres entiers. Propriété : Le calcul en ligne associé à une division euclidienne…

Cours sur “Multiples et diviseurs” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Multiples et diviseurs” Définition : Un nombre entier a est un multiple de b non nul lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0. On dit aussi que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b. Si l’entier b divise l’entier a il existe donc un entier q tel que : a=b×q. Exemples : 56 est un multiple de 8 car…

Cours sur “Additionner et soustraire les nombres relatifs” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Les nombres relatifs” Pour additionner deux nombres de même signe : On garde le signe commun aux deux nombres. On additionne les deux distances à 0 de ces nombres. (+8,4) + (+7,3) = (+15,7) (-8,2) + (-4,3 )= (-12,5) Pour additionner deux nombres de signes contraires : On garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à 0. On soustrait les deux distances à 0 de ces nombres. (+6,9)…

Cours sur “Multiplier les nombres relatifs” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Les nombres relatifs” Propriété Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur produit : Est positif. Et a pour distance à 0 le produit des distances à 0 des deux nombres. (+5)×(+7)=(+35) (-3)×(-8)=(+24) Si deux nombres sont de signes contraires, alors leur produit : Est négatif. Et a pour distance à 0 le produit des distances à 0 des deux nombres. (+5)×(-7)=(-35) (-3)×(+8)=(-24) + par + = + + par- = – – par + = – -…

Cours sur “Diviser les nombres relatifs” pour la 2eme Secondaire Notions sur la “Les nombres relatifs” Propriété Pour diviser deux nombres relatifs (le diviseur étant différent de 0). On détermine le signe du quotient en appliquant la règle des signes de la multiplication. + ÷ + = + + ÷- = – – ÷ + = – – ÷ – = + On divise leurs distances à 0. Exemples : Quotient de deux nombres de même signe : le quotient est positif. (-6)÷(-3)=(+2) Quotient de deux nombres…

Cours sur “Enchaînement d’opérations” pour la 2eme Secondaire Notions sur la “Les nombres relatifs” Priorités opératoires Dans une expression contenant des parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses en commençant par les parenthèses les plus à l’intérieur. Les calculs entre parenthèses doivent toujours être effectués d’abord même s’ils sont à la fin du calcul. Les multiplications et les divisions sont prioritaires sur les additions et les soustractions. On ne calcule donc pas forcément de gauche à droite. Cependant, dans un calcul où…

Cours sur “Fractions égales, Produit en croix” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Les fractions (1)” Quotients égaux Propriété On ne change pas la valeur d’une écriture fractionnaire en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur un même nombre non nul. Quels que soient les nombres a,b et k (b≠0 et k≠0) on a : (k ×a)/(k ×b )= a/b Exemples : 21/(-15)= (3×7)/(3 × -5 )=7/(-5) (-70)/(-100)= (7×-10)/(10×-10)=7/10 Produit en croix Propriété L’égalité du produit en croix est un outil largement utilisé lorsqu’on manipule des fractions….

Cours sur “Comparaisons de fractions” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Les fractions (1)” Nous avons appris en classe de cinquième à comparer deux fractions et nous avons aussi appris à comparer deux nombres relatifs. Nous devons maintenant apprendre en classe de quatrième à comparer des fractions qui ont des signes. Nous allons donc regrouper les méthodes de ces deux chapitres. Exemple 1 Comparer : -13/19 et (-2)/(-7) -13/19 <0 (-2)/(-7)=2/7 >0 Une fraction positive est toujours supérieure à une fraction négative. On en déduit que : -13/19<…

Cours sur “Additions et soustractions de fractions” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Les fractions (1)” Pour additionner ou pour soustraire deux fractions qui ont le même dénominateur : on additionne ou on soustrait les numérateurs. on garde le dénominateur commun. a b et c avec c ≠0 désignent trois nombres relatifs : a/c+ b/c= (a+b)/c a/c- b/c = (a-b)/c Exemples A= (-2)/(7 )+ 3/7 = (-2+3)/7 = 1/7 B= 7/3- (-8)/3= (7-(-8))/3=(7+8)/3= 15/3=5 Pour additionner ou pour soustraire deux fractions qui n’ont pas le…

Cours sur “Multiplications de fractions” pour la 2eme Secondaire Notions sur la “Les fractions (2)” Propriété : Pour multiplier deux nombres en écritures fractionnaires, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en appliquant la règle des signes apprise dans la multiplication des nombres relatifs. Soient a, b, c et d quatre nombres tels que : b ≠0 et d ≠0 a/b × c/d= (a×c)/(b×d) Exemple A= (-3)/5×7/12= (-3×7)/(5×12)=(-21)/60=-(3×7)/(3×20)=-7/20 Dans la pratique, on respecte les 3 étapes suivantes : On détermine d’abord le signe…

Cours sur “Inverse d’une fraction” pour la 2eme Secondaire Notions sur la “Les fractions (2)” Définition Soit x un nombre relatif non nul. L’inverse de x est le nombre qui, multiplié par x donne 1. Exemples L’inverse de 8 est 0,125 car 8×0,125=1. L’inverse de -2 est -0,5 car -2×-0,5=1. Propriété : Soient a et b des nombres relatifs non nuls. L’inverse du nombre a est le nombre 1/a “L’inverse du nombre” a/b “est” b/a Exemples L’inverse du nombre -2 est le nombre -1/2 L’inverse du nombre -2/3 est…

Cours sur “Division de fractions” pour la 2eme Secondaire Notions sur la “Les fractions (2)” Propriété : Diviser par un nombre relatif différent de 0 revient à multiplier par son inverse. Soient 4 nombres a,b,c et d tels que : b ≠0,c≠0 et d≠0 a/b÷c/d=a/b×d/c=(a×d)/(b×c) Exemples : (-2)/7 ÷ 4/5= (-2)/7 × 5/4= (-2×5)/(7×4)= (-2×5)/(7×2×2)= (-5)/14 -3 ÷ 1/4= -3 × 4/1= (-12)/1= -12 (2/5)/((-10)/3)=2/5×(-3)/10=(2×-3)/(5×10)= (2×-3)/(5×2×5)=(-3)/25 Remarque : La barre de fraction principale doit être plus grande et à hauteur du signe =. Exemples : A= (3/11)/5= (3/11)/(5/1)=3/11×1/5=3/55 B=…

Cours sur “Résoudre un problème avec les fractions” pour la 2eme Secondaire Notions sur la “Les fractions (2)” Pour résoudre un problème avec des fractions : Il faut lire attentivement l’énoncé : Pascal, marchand d’articles de plage à Deauville, dit avoir vendu les quatre cinquièmes de son stock à la fin du mois d’Août. Au cours du mois de septembre, il a encore vendu trois quarts de ce qu’il lui restait. Durant le mois d’Octobre, Pascal vend la moitié de ce qu’il lui reste. Quelle…

Cours sur “Carré et cube d’un nombre relatif ” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Les puissances” Soit a un nombre relatif. CARRE D’UN RELATIF : Définition : Le produit a×a se note a² et se lit a au carré. Dans a×a il y a deux facteurs. Exemples : 6^2=6 ×6=36 (-7)^2=(-7)×(-7)=49 Vocabulaire : Dans l’expression a² , l’entier 2 est appelé exposant. CUBE D’UN RELATIF : Définition : Le produit a×a×a se note a^3 et se lit a au cube. Dans a×a×a il y a trois facteurs. Exemples : 6^3=6 ×6×6=216 〖(-7)〗^3=(-7)×(-7)×(-7)=- 343 Vocabulaire : Dans…

Cours sur “Puissances d’exposant positif” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Les puissances” Définition : a désigne un nombre relatif. n désigne un nombre entier supérieur ou égal à 1. Le produit de n facteurs égaux à a : est une puissance de a. On note : a ×a×a×….. ×a=a^n On lit : « a exposant n ». Exemples : Cas particulier : Si a≠0 alors a^0=1 et si a quelconque a^1=a Signe de a^n Parité de n Signe de a n est pair n est impair a>0 +…

Cours sur “Puissances d’exposant négatif” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Les puissances” Définition Si a est un nombre relatif non nul et n un entier naturel, on a : a^(-n) désigne l’inverse de a^n. a^(-n)=1/a^n Exemples : 2^(-3)=1/2^3 =1/(2×2×2)= 1/8 (-3)^(-4)=1/〖(-3)〗^4 =1/((-3)×(-3)×(-3)×(-3))= 1/81 〖10〗^(-4)=1/〖10〗^4 = 1/(10×10×10×10)=1/(10 000)=0,0001 Cas particulier : Si n=1 : a^(-1 ) est l’inverse de a Exemples : 2^(-1)=1/2 〖(-4)〗^(-1)=-1/4 Voir les fichesTélécharger les documents Cours : 2eme Secondaire Puissances d’exposant négatif pdf Cours : 2eme Secondaire Puissances d’exposant négatif rtf…

Cours sur “Opérations sur les puissances” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Les puissances” Produit de deux puissances d’un même nombre : Exemple : Propriété : Quel que soit le nombre relatif non nul et quels que soient les nombres entiers et on a : Quotient de deux puissances d’un même nombre : Exemple : Propriété : Quel que soit le nombre relatif non nul et quels que soient les nombres entiers et on a : Puissances de même exposant…

Cours sur “Écrire les grands et les petits nombres” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Les puissances” Dans ce chapitre on va travailler avec les puissances de 10. Puissances positives de 10 : Puissances négatives de 10 : 〖10〗^(-n) désigne l’inverse de 〖10〗^n. Puissances de 10 et préfixes. Plus grand que l’unité Plus petit que l’unité Préfixe giga méga kilo hecto déca unité déci centi milli micro nano Symbole G M k h da d c m n 〖10〗^n 〖10〗^9 〖10〗^6 〖10〗^3 〖10〗^2 〖10〗^1 〖10〗^0=1 〖10〗^(-1)…

Cours sur “Écriture scientifique d’un nombre” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Les puissances” Les calculatrices, lorsque le résultat d’un calcul dépasse leur capacité d’affichage donnent une valeur approchée du résultat en notation scientifique. Définition : Un nombre positif est écrit en notation scientifique quand il est écrit sous la forme : a×〖10〗^n où : a est un nombre décimal tel que 1≤a<10 c’est-à-dire que a s’écrit avec un seul chiffre autre que 0 avant la virgule. n est un nombre entier relatif. Exemples 1 1,8451×〖10〗^3…

Cours sur “Développement Réduction” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Calcul littéral” Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition Propriété La multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction. Cela signifie que, quels que soient les nombres a, b et k on a : Développer une expression littérale Développer une expression littérale c’est transformer un produit en somme ou en différence Exemple 1 : Développer 3(x+5) Pour développer cette expression on effectue le produit en utilisant la distributivité, c’est-à-dire que l’on distribue…

Cours sur “Factorisation” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Calcul littéral” Définition Factoriser une expression littérale, c’est transformer une somme ou une différence en produit. Pour cela on utilise les formules de distributivité dans le sens contraire. On dit que k est un facteur commun aux deux termes de la somme ka et kb Factoriser par 5 ou mettre 5 en facteur signifie que l’on obtient une expression de la forme : 5 ×(….. ) Exemples : Factoriser A=5x+30 On repère un facteur commun : A=…

Cours sur “Expressions égales” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Calcul littéral” Définition Deux expressions littérales sont égales, si, pour n’importe quelles valeurs attribuées aux lettres, les deux expressions donnent le même résultat. Pour prouver que deux expressions sont égales : Pour prouver l’égalité de deux expressions, on peut transformer l’écriture de l’une afin d’obtenir celle de l’autre. Exemple : Prouver que : A=7x^2+5x et B=7x(x+1)-2x sont égales. On peut partir de l’expression de B et développer B. B=7x(x+1)-2x =7x×x+7x×1-2x=7x^2+7x-2x=7x^2+5x=A Les expressions A et B sont égales….

Cours sur “Exprimer en fonction de” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Équations et inéquations” Définition : Ecrire un résultat en fonction de x c’est écrire une expression littérale contenant la lettre x. Exemple 1 : Sur un site internet, les tee-shirts sont vendus au prix de 12 € le tee-shirt et les frais de livraison s’élèvent à 8,5 €. Calculer, en fonction de x, le prix à payer si on achète x tee-shirts. Si on achète 1 tee-shirt on paie : 12+8,5 =…

Cours sur “Tester une égalité ou une inégalité” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Équations et inéquations” Tester une égalité Pour tester si une égalité est vraie pour des valeurs affectées aux lettres : On calcule le membre de gauche en remplaçant chaque lettre par le nombre donné. On calcule le membre de droite en remplaçant chaque lettre par le nombre donné. On observe si les deux membres sont égaux ou non. On conclut : Si les deux membres sont égaux on dit que l’égalité…

Cours sur “Notion d’équation” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Équations et inéquations” Définition Une équation est une égalité comportant au moins un nombre inconnu désigné par une lettre souvent notée x, que l’on appelle l’inconnue de l’équation. Résoudre une équation, c’est trouver la valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vraie (il se peut qu’il y ait plusieurs valeurs possibles). Ces valeurs sont les solutions de l’équation. Exemples 4x-3=9-2x est une équation. 2+x=10x est une équation. On peut vérifier si un nombre est…

Cours sur “Résoudre une équation du 1er degré” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Équations et inéquations” Règle n°1 : Lorsqu’on additionne ou on soustrait un même nombre à chaque membre d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité. Exemple : x-3=10 x-3+3=10+3 x=13 Règle n°2 : Lorsqu’on multiplie ou on divise par un même nombre non nul chaque membre d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité. Exemple : x/3=10 x/3×3=10×3 x=30 Résolution d’une équation du premier degré : 4x-3=9-2x Étape 1 : On simplifie le problème en ôtant l’inconnue dans…

Cours sur “Modéliser une situation” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Équations et inéquations” Pour mettre un problème en équation, il faut suivre les étapes suivantes : Choisir l’inconnue, la nommer avec une lettre. Traduire le problème par une égalité entre deux expressions faisant intervenir l’inconnue. Résoudre l’équation. Interpréter le résultat. Exemple : Un père veut donner 1600 € à ses trois enfants. Il veut que l’aîné ait 200 € de plus que le second et que le second ait 100 € de plus que le troisième….

Cours sur “Calculer avec les grands nombres et les petits nombres” pour la 2eme Secondaire Notions sur “Les puissances” Les propriétés, vues dans le chapitre 5-4 : Opérations sur les puissances, restent évidemment vraies pour les puissances de 10. On a donc : PRODUIT DE PUISSANCES DE 10 : 〖10〗^m×〖10〗^n=〖10〗^(m+n) Exemple : 〖10〗^3×〖10〗^(-4)=〖10〗^(3-4)=〖10〗^(-1)=1/10 QUOTIENT DE PUISSANCES DE 10 : 〖10〗^m/〖10〗^n = 〖10〗^(m-n) Exemple : 〖10〗^2/〖10〗^(-3) = 〖10〗^(2-(-3))= 〖10〗^5 PUISSANCE DE PUISSANCES DE 10 : (〖10〗^m )^n= 〖10〗^(m×n) Exemple : 〖(〖10〗^2)〗^(-3)= 〖10〗^(2×(-3))= 〖10〗^(-6) PRODUIT PAR UNE…